«Η Κρυφή Γοητεία των Αριθμών» του Χρήστου Κ. Πολίτη

Περί γοητείας και Αριθμών λοιπόν ο λόγος  , δηλαδή στο προσκήνιο τα Μαθηματικά  που  όπως λένε και στην Εσπερία :    «Mathematics is the Queen and servant of all Sciences» τουτέστιν μεθερμηνευόμενο (η Μαθηματική Επιστήμη είναι η Βασίλισσα αλλά και η υπηρέτης όλων των Επιστημών) και αυτό με τη έννοια  ότι τα μαθηματικά  σαν αναγκαίο και πολλές φορές απαραίτητο εργαλείο μπαίνει σε όλες τις εκφάνσεις του επιστητού ,σε όλες τις επιστήμες θεωρητικές η θετικές ,από τη Ψυχολογία και Κοινωνιολογία μέχρι τη Φυσική  και την Αστρονομία.

Ευνόητη βέβαια εδώ η απορία που θα διατυπώσει (και με το δίκιο του)  κάποιος  καλοπροαίρετος φίλος: μα τι μπορεί να με ενδιαφέρει εμένα ένα τόσο εξειδικευμένο θέμα αφού έτσι και αλλιώς δεν ασχολούμαι με τα μαθηματικά και είναι δυνατόν αυτά τα άχαρα πράγματα που λέγονται αριθμοί να  κρύβουν κάποια γοητεία;;

Απάντηση :  αυτό ακριβώς  έχουν σκοπό τούτα τα γραφόμενα μου ,αφενός  να   δείξουν τη  κρυφή γοητεία  που κρύβουν οι αριθμοί  και αφετέρου να δείξουν ότι ο κόσμος των μαθηματικών είναι πραγματικά μαγικός. Η ενεργή ενασχόληση με τους αριθμούς μπορεί να σου προσφέρει μια αίσθηση απόλυτης ελευθερίας και σου δίνει κάθε δικαίωμα να πιστεύεις, να ρωτάς, να αμφισβητείς πραγματικά ο,τι και όποιον θέλεις. Ακόμα και στην αρχαιότητα οι άνθρωποι ήταν σίγουροι ότι οι αριθμοί είναι ένας μυστικός κώδικας, μέσω του οποίου μπορείτε να κατανοήσετε τη δομή του κόσμου μας. Χιλιάδες χρόνια έχουν περάσει έκτοτε και οι σύγχρονοι επιστήμονες όχι μόνο μοιράζονται τη γνώμη των προγόνων μας, αλλά συνεχίζουν να αποδεικνύουν ότι τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών. Στη μουσική, σε ένα πιάτο, στα στοιχεία … Οι αριθμοί μπορούν να εκφράσουν ό, τι είναι στον κόσμο μας   Όταν δε εστιάζεις στο τομέα της Θεωρίας Αριθμών, είναι σαν τα πάντα να ξεκινούν από το μηδέν. Το βάθος του κόσμου των αριθμών είναι τόσο μεγάλο, που μπορεί να εξαλείψει ακόμα και τις τεράστιες γνωστικές διαφορές που μπορεί να έχει μια μαθηματική ιδιοφυΐα και ένα μικρό παιδί.

Μια και μιλάμε λοιπόν για τη Θεωρία Αριθμών (Αριθμητική ) ενδιαφέρον  έχει και η γνώμη του  επονομαζόμενου Πρίγκιπα των Μαθηματικών Γερμανού μαθηματικού Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους ότι αν τα Μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών  τότε η Θεωρία Αριθμών είναι η βασίλισσα των Μαθηματικών.

Επειδή στη συνέχεια θα αναφερθούμε στους πρώτους αριθμούς  ας  κάνουμε μια αναγκαία υπενθύμιση.

Πρώτος αριθμός ονομάζεται ο αριθμός  που σαν μόνους διαιρέτες έχει τον εαυτό του και τη μονάδα. Αν  δεν λάβουμε υπόψη μας το 1 ο μικρότερος και ο μοναδικός ζυγός(άρτιος) αριθμός που είναι πρώτος αριθμός είναι το 2 όλοι οι άλλοι είναι μονοί (περιτοί)  π.χ 3,5,7,11,13,17 ,19.κ.τ.λ. Οι πρώτοι αριθμοί παίζουν σημαντικό ρόλο στην αριθμητική. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι  είναι τα «άτομα» των αριθμών. Όπως στη φυσική κάθε σώμα αποτελείται  κατά μοναδικό τρόπο από συνδυασμούς ατόμων  έτσι και στη αριθμητική κάθε αριθμός είναι κατά μοναδικό τρόπο  γινόμενο πρώτων αριθμών π.χ 10=2×5 ,60=2x2x3x5,95=5×19  κ.τ.λ  …κ.τ.λ  .Οι πρώτοι αριθμοί  είναι άτακτα διασκορπισμένοι και καλά κρυμμένοι μέσα στο σύνολο των αριθμών. Αξίζει εδώ να αναφέρουμε με δικαιολογημένη περηφάνια  τον πρόγονο μας τον Ερατοσθένη το Κυρηναίο ο οποίος εκτός του ότι με τη βοήθεια του ήλιου  μόνο και  ενός… ραβδιού το 3ο  π.χ αιώνα  κατάφερε να μετρήσει την περιφέρεια της Γης ,ο ίδιος επίσης κατασκεύασε ένα  «κόσκινο» με τη βοήθεια του οποίου κοσκινίζουμε τους αριθμούς   ώστε να βρίσκουμε του  πρώτους  από αυτούς(κόσκινο του Ερατοσθένη).Φυσικά δεν μπορούμε  να κοσκινίζουμε  στο διηνεκές και δεν υπάρχει κάποιος αλγόριθμος(φόρμουλα) που θα μου έλεγε π.χ ποίος είναι  ο εκατομμυριοστός πρώτος αριθμός .

«Οποιοσδήποτε μπορεί να κάνει ερωτήσεις σχετικές με τους πρώτους αριθμούς που και ο πιο σοφός άνθρωπος αδυνατεί να απαντήσει» συνήθιζε να λέει ο γνωστός Βρετανός μαθηματικός Γ.Χ Χάρντι. Αν έπρεπε να δώσουμε ένα παράδειγμα που να εξηγεί τα λόγια του περίφημου μαθηματικού, τότε η εικασία του Γκόλντμπαχ θα ήταν το πιο χαρακτηριστικό από όλα.«Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών». Για παράδειγμα,

  4 = 2 + 2

  6 = 3 + 3

  8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

κτλ.

 Είναι δυνατόν μια τόσο απλή ερώτηση να βασανίζει τα «μεγαλύτερα» μυαλά του πλανήτη για παραπάνω από δυόμιση αιώνες; Πρόκειται για ένα πρόβλημα που θεωρητικά ανάγεται στην πιο απλή πράξη των μαθηματικών, τη πρόσθεση. Εκτός αυτού όμως, τι θα χαρίσει στον κόσμο η πολυπόθητη ανακάλυψη της αλήθειας γύρω από την εικασία αυτή;

Η εικασία φαντάζει αρκετά εύκολη, όμως οι παγίδες που κρύβει είναι αδιανόητες. Ο Πιέτ Χέιν, ένας από τους μαθηματικούς που έχουν ασχοληθεί με την εικασία, μιλώντας για το φαινομενικά απλό ερώτημα του Γκόλντμπαχ είχε πει πως: «Είναι ένα πρόβλημα που αξίζει να του επιτεθείς. Αποδεικνύει την αξία του όταν σου αντεπιτεθεί».

Αν κάποιος μαθηματικός καταφέρει να δώσει την απάντηση στην εικασία του Γκόλντμπαχ, να την αποδείξει δηλαδή, σίγουρα το όνομα του θα γραφτεί με χρυσά γράμματα στην ιστορία της μαθηματικής επιστήμης. Όχι μόνο επειδή θα έχει καταφέρει να λύσει το γόρδιο δεσμό των τελευταίων αιώνων, σώζονταν στην κυριολεξία αρκετές ζωές μαθηματικών που ανά καιρούς αφιερώνονται πλήρως στην εικασία, αλλά επειδή η απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα «σπρώξει» όλο το μαθηματικό κόσμο ένα βήμα παρακάτω.

Η ενδεχόμενη λύση, έχει να δώσει απαντήσεις σε εκατοντάδες θεωρήματα που βασίζονται πάνω στη μετέωρη παραδοχή ότι η εικασία ισχύει. Θεωρήματα που επηρεάζουν όχι μόνο τα μαθηματικά, αλλά και σχεδόν όλες τις άλλες επιστήμες. Αν φανταστούμε τα μαθηματικά ως μια αλυσίδα, τότε αυτός ο κρίκος που της λείπει ( η απόδειξη της εικασίας)θα μπορούσε να συνδέσει εξαιρετικά πολλές θεωρίες μεταξύ τους.

Προς το παρόν όμως, αντιμετωπίζουμε την εικασία του Γκόλντμπαχ ως το άλυτο μυστήριο που θα απασχολεί επί αορίστου χρόνου τους μαθηματικούς. Εκτός αυτού όμως, θα αποδεικνύει για άλλη μια φορά πως το πιο ενδιαφέρον στοιχείο των μαθηματικών δεν είναι άλλο από την απλότητά τους.

Τελειώνοντας νομίζω  ότι όλα τα παραπάνω  έχουν γίνει κατανοητά όχι από κάποιον  εξειδικευμένο με το αντικείμενο αλλά και από ένα μαθητή  Δημοτικού που ξέρει απλώς να μετράει  ακόμα και με τα δάκτυλα του .

Ήθελα απλώς να δείξω  (τα κατάφερα άραγε;) ότι και  τα πιο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα ,ακόμα και τα άλυτα  και αυτά που αιώνες βασανίζουν τους   μαθηματικούς μπορούν να γίνουν κατανοητά  και από ένα παιδί

Αυτή είναι η  κρυμμένη γοητεία και η μαγεία των μαθηματικών. Εμπρός λοιπόν για το επόμενο βραβείο Άμπελ(το βραβείο Νομπελ των Μαθηματικών) χωρίς να  χρειάζεται να είσαι  κάποια ανώτερη μαθηματική ιδιοφυία ,μπορεί απλούστατα να είσαι ακόμη παιδί ,άλλωστε με μοναδική εξαίρεση τον Γκάους  που προανέφερα  αυτοί που συντάραξαν τα θεμέλια των μαθηματικών και με το έργο τους γέννησαν  νέους κλάδους των μαθηματικών  και νέες θεωρίες ήταν ακόμη  σχεδόν παιδιά Ο ατίθασος νεαρός Γάλλος Εβαρίστ  Γκαλουά(Θεωρία Γκαλουά) που  όταν εγκατάλειψε τον μάταιο τούτο κόσμο καλά καλά δεν είχε κλείσει τα εικοσιένα του χρόνια καθώς και ο  Νορβηγός Νίλς Χέντρικ Άμπελ προς τιμή του οποίου θεσπίστηκε  το ομώνυμο βραβείο  μαθηματικών (αντίστοιχο με το βραβείο Νόμπελ) και ο οποίος «έφυγε» πολύ  νωρίς και αυτός στα  είκοσι επτά του χρόνια. Λένε ότι αν ζούσαν αυτοί οι δύο ο κόσμος ίσως να  ήταν διαφορετικός.

Τελειώνω  επιφυλασσόμενος να επανέλθω εν ευθέτω  χρόνω με την εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών  αυτή τη φορά και ίσως  το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

                                                                                                                                                                                        Χρήστος Κ. Πολίτης